El Carpio de Tajo - Toledo

Mandelbrot, hacia 1975, utilizó este término para designar construcciones geométricas u objetos reales que no cumplen el paradigma Euclídeo. Fractal viene del latín "fractus", que significa "interrumpido" o "irregular". ¿Cuánto mide la costa española? ¿cuanto mide el río Ebro? Son preguntas aparentemente con repuesta, pero que en realidad no la tienen. La explicación es que cualquier costa o rÌo tiene unas irregularidades en su recorrido que hacen que, a escalas cada vez más pequeñas, la longitud total sea cada vez mayor. Si medimos kilómetro a kilómetro tendremos una longitud; metro a metro, otra; micra a micra, mucho mayor. La escala no es el único problema: las mareas cambian la longitud de la costa, las crecidas la de los rÌos. Eso son ejemplos de fractales naturales. El ejemplo más emblemático de fractal matemático es el conjunto de Mandelbrot



Los fractales tienen invarianza escalar: por más que descendemos a los detalles, su aspecto irregular es parecido (esto es totalmente cierto en los fractales matemáticos, pero evidentemente tiene un límite en los naturales).

Los fratales son autosemejantes: dos conjuntos de Mandelbrot siempre serán identificables como tales, pero jamás serán iguales.

Cada fractal identifica al sistema que representa: tanto la disposición de las ramas de un pino como las de un manzano son fractales, pero nadie confundiría las dos especies de árboles.

Los fractales matemáticos surgen de aplicar repetidamente formulas sencillas (iteración), pero llevan a estructuras extremadamente complejas. Los fractales naturales, además de las características anteriores, incluyen una componente de azar.



Existen antecedentes de los fractales. A continuación incluyo alguno de esos precedentes, dado que servirán para introducir otro concepto importante.

El primero de ellos es el "polvo de Cantor". consiste en ir troceando una recta y eliminar el tercio central de cada trozo. De esa sucesión van saliendo rectas cada vez más pequeñas, quedando en un tenue punteado. En el límite, la recta desaparece.

El segundo ejemplo es la "figura de koch", donde una recta se va subdividiendo como en la figura anterior, haciéndose cada vez más compleja.

El triángulo de Sierpinski va subdividiéndose en otros menores tal como se ve en la figura, con lo que sucesivamente va quedando una pseudosuperficie porosa difícil de calificar desde un punto de vista topológico.



Estas figuras sugieren una propiedad importante de los fractales: pueden estar constituidos por rectas, planos, etc, pero la figura resultante no puede explicarse tan sólo con la dimensión básica de los elementos que la componen. El polvo de cantor es unidimensional, pero a la vez no lo es. Algo parecido ocurre con la figura de koch; en un caso la dimensión tiende a se menor que uno, en el otro, mayor. El triángulo de Sierpinski tiende a perder dimensión, y estaría en algún lugar entre 1 y 2.



Estas figuras son, en realidad, falsos fractales. Para tales figuras, Mandelbrot habla de una "dimensión de homotecia" que se puede calcular analíticamente y que tiene un valor fraccionario. Para fractales auténticos, el cálculo de la dimensión fractal puede ser todo un reto, tal como indica el propio Mandelbrot. Es la llamada dimensión de Hausdorff.



La característica"fractal" es un aspecto topológico que tiene más relación con la geometría que con otra cosa. El caos, como veremos, trata con series temporales, lo cual supone una profunda diferencia. Sin embargo, los sistemas caóticos generalmente -pero no necesariamente- presentan fractalidad, lo que sirve para identificarlos fácilmente en la mayoría de los casos. Esta sería, en mi opinión, la mayor aportación epistemológica de este aspecto de la complejidad para lo que nos ocupa: saber si nos enfrentamos al caos. Por otra parte, hay procesos temporales que en si mismos presentan características fractales, lo que ha llevado a llamarlos "procesos fractales".



Sin entrar en polémicas (no sería ni el primero ni el último en discutir sobre esto), lo que resulta evidente es que en los procesos sociales se dan características fractales que invitan al caos, es decir, a aplicar el paradigma de la complejidad para abordarlos